2537-1

Информация о задаче

Задача №2537 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить длину дуги линии [math]x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t}[/math], [math]y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t}[/math].

Решение

[math] x'=2t\sin{t}+\left(t^2-2\right)\cos{t}+2\cos{t}-2t\sin{t}=t^2\cos{t};\\ y'=-2t\cos{t}+\left(2-t^2\right)\cdot(-\sin{t})+2\sin{t}+2t\cos{t}=t^2\sin{t};\\ (x')^2+(y')^2=t^4\left(\cos^2{t}+\sin^2{t}\right)=t^4. [/math]

[math] L=\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt =\int\limits_{0}^{\pi}t^2dt =\frac{\pi^3}{3}. [/math]

Ответ

[math]\frac{\pi^3}{3}[/math]