Задача №1716
Условие
Найти длину дуги линии \(y=\ln\frac{e^x+1}{e^x-1}\) (от \(x_1=a\) до \(x_2=b\)).
Решение
Отмечу, что данная функция определена при условии \(x\gt{0}\), т.е. неравенство \(e^{2x}-1\gt{0}\) выполнено для всех значений аргумента из области определения. Это значит, что \(\sqrt{\left(e^{2x}-1\right)^2}=e^{2x}-1\).
\[
L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx
=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\frac{4e^{2x}}{\left(e^{2x}-1\right)^2}}dx
=\int\limits_{a}^{b}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx
=\int\limits_{a}^{b}\left(\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}-1\right)dx=\\
=\left.\left(\ln\left(e^{2x}-1\right)-x\right)\right|_{a}^{b}
=\ln\frac{e^{2b}-1}{e^{2a}-1}-b+a
=\ln\frac{e^{2b}-1}{e^{2a}-1}-\ln{e^b}+\ln{e^a}
=\ln\frac{e^b-e^{-b}}{e^a-e^{-a}}.
\]
Ответ:
\(\ln\frac{e^b-e^{-b}}{e^a-e^{-a}}\)