2523-1
Информация о задаче
Задача №2523 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти длину дуги линии [math]y=\ln\frac{e^x+1}{e^x-1}[/math] (от [math]x_1=a[/math] до [math]x_2=b[/math]).
Решение
Отмечу, что данная функция определена при условии [math]x\gt{0}[/math], т.е. неравенство [math]e^{2x}-1\gt{0}[/math] выполнено для всех значений аргумента из области определения. Это значит, что [math]\sqrt{\left(e^{2x}-1\right)^2}=e^{2x}-1[/math].
[dmath] L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\frac{4e^{2x}}{\left(e^{2x}-1\right)^2}}dx =\int\limits_{a}^{b}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx =\int\limits_{a}^{b}\left(\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}-1\right)dx=\\ =\left.\left(\ln\left(e^{2x}-1\right)-x\right)\right|_{a}^{b} =\ln\frac{e^{2b}-1}{e^{2a}-1}-b+a =\ln\frac{e^{2b}-1}{e^{2a}-1}-\ln{e^b}+\ln{e^a} =\ln\frac{e^b-e^{-b}}{e^a-e^{-a}}. [/dmath]
Ответ
[math]\ln\frac{e^b-e^{-b}}{e^a-e^{-a}}[/math]
