2522-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2522 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти длину дуги линии [math]y=\ln\left(1-x^2\right)[/math] от [math]x_1=0[/math] до [math]x_2=\frac{1}{2}[/math].

Решение

[math] L=\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{1+(y')^2}dx =\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{1+\frac{4x^2}{\left(1-x^2\right)^2}}dx =\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)^2}{\left(1-x^2\right)^2}}dx=\\ =\int\limits_{0}^{1/2}\frac{1+x^2}{1-x^2}dx =\int\limits_{0}^{1/2}\left(-1-\frac{2}{x^2-1}\right) =\left.\left(-x-\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right)\right|_{0}^{1/2} =\ln{3}-\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

[math]\ln{3}-\frac{1}{2}[/math]