Задача №1714
Условие
Найти длину дуги линии \(y=\ln{x}\) от \(x_1=\sqrt{3}\) до \(x_2=\sqrt{8}\).
Решение
\[
L=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\sqrt{1+(y')^2}dx
=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx
=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx=\\
=\left[\begin{aligned}
& t=\sqrt{x^2+1};\;x=\sqrt{t^2-1};\;dx=\frac{tdt}{\sqrt{t^2-1}}.\\
& \begin{array} {c|c|c} x & \sqrt{3} & \sqrt{8} \\ \hline t & 2 & 3 \end{array}
\end{aligned}\right]
=\int\limits_{2}^{3}\frac{t^2dt}{t^2-1}=\\
=\int\limits_{2}^{3}\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt
=\left.\left(t+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|\right)\right|_{2}^{3}
=1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}.
\]
Ответ:
\(1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}\)