2521-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2521 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти длину дуги линии [math]y=\ln{x}[/math] от [math]x_1=\sqrt{3}[/math] до [math]x_2=\sqrt{8}[/math].

Решение

[math] L=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\sqrt{1+(y')^2}dx =\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx =\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx =\left[\begin{aligned} & t=\sqrt{x^2+1};\;x=\sqrt{t^2-1};\;dx=\frac{tdt}{\sqrt{t^2-1}}.\\ & \begin{array} {c|c|c} x & \sqrt{3} & \sqrt{8} \\ \hline t & 2 & 3 \end{array} \end{aligned}\right]=\\ =\int\limits_{2}^{3}\frac{t^2dt}{t^2-1} =\int\limits_{2}^{3}\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt =\left.\left(t+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|\right)\right|_{2}^{3} =1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}. [/math]

Ответ

[math]1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}[/math]