Задача №1711
Условие
Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной линиями \(y=2x^2e^x\) и \(y=-x^3e^x\).
Решение
Определим сперва абсциссы точек пересечения заданных линий:
\[
2x^2e^x=-x^3e^x;\\
e^x\cdot\left(x^3+2x^2\right)=0;\\
e^x\cdot{x^2}\left(x+2\right)=0;\\
x_1=0;\;x_2=-2.
\]
При этом отмечу, что так как \(e^x\cdot{x^2}\left(x+2\right)\gt{0}\) при \(-2\lt{x}\lt{0}\), то график функции \(y=2x^2e^x\) лежит выше графика функции \(y=-x^3e^x\) при \(-2\lt{x}\lt{0}\).
Для построения чертежа можно дополнительно указать, что график функции \(y=2x^2e^x\) лежит выше оси абсцисс, касаясь её лишь в точке \(x=0\). График кривой \(y=-x^3e^x\) пересекает ось абсцисс только в одной точке – начале координат. При этом график \(y=-x^3e^x\) лежит во второй и третьей четвертях.
\[
S=\int\limits_{-2}^{0}\left(2x^2e^x+x^3e^x\right)dx
=2\int\limits_{-2}^{0}x^2e^xdx+\int\limits_{-2}^{0}x^3e^xdx
=\left[\begin{aligned}
& u=x^3;\;du=3x^2dx;\\
& dv=e^xdx;\;v=e^x.
\end{aligned}\right]=\\
=\left.x^3e^x\right|_{-2}^{0}-\int\limits_{-2}^{0}x^2e^xdx
=\left[\begin{aligned}
& u=x^2;\;du=2xdx;\\
& dv=e^xdx;\;v=e^x.
\end{aligned}\right]
=12e^{-2}+2\int\limits_{-2}^{0}{xe^x}dx=\\
=\left[\begin{aligned}
& u=x;\;du=dx;\\
& dv=e^xdx;\;v=e^x.
\end{aligned}\right]
=12e^{-2}+2\cdot\left(\left.xe^x\right|_{-2}^{0}-\int\limits_{-2}^{0}e^xdx\right)
=\frac{18}{e^2}-2.
\]
Ответ:
\(\frac{18}{e^2}-2\)