2481-1
Информация о задаче
Задача №2481 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной линиями [math]y=2x^2e^x[/math] и [math]y=-x^3e^x[/math].
Решение
Определим сперва абсциссы точек пересечения заданных линий:
[dmath] 2x^2e^x=-x^3e^x;\\ e^x\cdot\left(x^3+2x^2\right)=0;\\ e^x\cdot{x^2}\left(x+2\right)=0;\\ x_1=0;\;x_2=-2. [/dmath]
При этом отмечу, что так как [math]e^x\cdot{x^2}\left(x+2\right)\gt{0}[/math] при [math]-2\lt{x}\lt{0}[/math], то график функции [math]y=2x^2e^x[/math] лежит выше графика функции [math]y=-x^3e^x[/math] при [math]-2\lt{x}\lt{0}[/math].
Для построения чертежа можно дополнительно указать, что график функции [math]y=2x^2e^x[/math] лежит выше оси абсцисс, касаясь её лишь в точке [math]x=0[/math]. График кривой [math]y=-x^3e^x[/math] пересекает ось абсцисс только в одной точке – начале координат. При этом график [math]y=-x^3e^x[/math] лежит во второй и третьей четвертях.
[dmath] S=\int\limits_{-2}^{0}\left(2x^2e^x+x^3e^x\right)dx =2\int\limits_{-2}^{0}x^2e^xdx+\int\limits_{-2}^{0}x^3e^xdx =\left[\begin{aligned} & u=x^3;\;du=3x^2dx;\\ & dv=e^xdx;\;v=e^x. \end{aligned}\right]=\\ =\left.x^3e^x\right|_{-2}^{0}-\int\limits_{-2}^{0}x^2e^xdx =\left[\begin{aligned} & u=x^2;\;du=2xdx;\\ & dv=e^xdx;\;v=e^x. \end{aligned}\right] =12e^{-2}+2\int\limits_{-2}^{0}{xe^x}dx=\\ =\left[\begin{aligned} & u=x;\;du=dx;\\ & dv=e^xdx;\;v=e^x. \end{aligned}\right] =12e^{-2}+2\cdot\left(\left.xe^x\right|_{-2}^{0}-\int\limits_{-2}^{0}e^xdx\right) =\frac{18}{e^2}-2. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{18}{e^2}-2[/math]
