Условие
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией \(y=e^{-x}\left(x^2+3x+1\right)+e^2\), осью Ox и двумя прямыми, параллельными оси Oy, проведёнными через точки экстремума функции \(y\).
Решение
Область определения данной функции: \(D(y)=R\).
\[
y'=e^{-x}\cdot(-x^2-x+2)=-e^{-x}\cdot(x-1)(x+2)
\]
Функция убывает при \(x\in(-\infty;-2)\) и \(x\in(1;+\infty)\). Функция возрастает при \(x\in(-2;1)\).
\[
\begin{aligned}
& x_{\min}=-2;\;y_{\min}=y(-2)=0.\\
& x_{\max}=1;\;y_{\max}=y(1)=5e^{-1}+e^2.
\end{aligned}
\]
Отметим, что так как \(y(-2)=0\), то график пересекает ось абсцисс или касается её при \(x=-2\). Значение \(y=0\) является наименьшим при \(x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1)\). Это значит, что при \(x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1)\) график функции лежит над осью абсцисс. Впрочем, если \(x\ge{1}\), то \(y\gt{0}\), т.е. график функции лежит над осью Ox на всей области определения, кроме точки \(x=-2\), в которой график касается оси абсцисс.
\[
S=\int\limits_{-2}^{1}\left(e^{-x}\left(x^2+3x+1\right)+e^2\right)dx
=\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}\left(x^2+3x\right)dx+\int\limits_{-2}^{1}\left(e^{-x}+e^2\right)dx=\\
=\left[\begin{aligned}
& u=x^2+3x;\;du=(2x+3)dx;\\
& dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}.
\end{aligned}\right]
=\left.-e^{-x}\left(x^2+3x\right)\right|_{-2}^{1}+\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}(2x+3)dx+\left.\left(-e^{-x}+xe^2\right)\right|_{-2}^{1}=\\
=2e^2-5e^{-1}+\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}(2x+3)dx
=\left[\begin{aligned}
& u=2x+3;\;du=2dx;\\
& dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}.
\end{aligned}\right]=\\
=2e^2-5e^{-1}-\left.e^{-x}\left(2x+3\right)\right|_{-2}^{1}+2\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}dx
=3e^2-\frac{12}{e}.
\]