2479-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2479 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией [math]y=\left(x^2+2x\right)e^{-x}[/math] и осью абсцисс.

Решение

График данной функции пересекает ось абсцисс в точках [math](-2;0)[/math] и [math](0;0)[/math]. Если [math]x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)[/math], то [math]y\gt{0}[/math], т.е. график лежит над осью абсцисс. Если же [math]x\in(-2;0)[/math], то [math]y\lt{0}[/math], т.е. график лежит под осью абсцисс.

2479-1.png

[math] S=-\int\limits_{-2}^{0}\left(x^2+2x\right)e^{-x}dx =\left[\begin{aligned} & u=x^2+2x;\;du=(2x+2)dx;\\ & dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}. \end{aligned}\right] =-\int\limits_{-2}^{0}(2x+2)e^{-x}dx=\\ =\left[\begin{aligned} & u=2x+2;\;du=2dx;\\ & dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}. \end{aligned}\right] =2e^2+2-2\int\limits_{-2}^{0}e^{-x}dx =4. [/math]

Ответ

4