Задача №1709
Условие
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией \(y=\left(x^2+2x\right)e^{-x}\) и осью абсцисс.
Решение
График данной функции пересекает ось абсцисс в точках \((-2;0)\) и \((0;0)\). Если \(x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)\), то \(y\gt{0}\), т.е. график лежит над осью абсцисс. Если же \(x\in(-2;0)\), то \(y\lt{0}\), т.е. график лежит под осью абсцисс.
\[
S=-\int\limits_{-2}^{0}\left(x^2+2x\right)e^{-x}dx
=\left[\begin{aligned}
& u=x^2+2x;\;du=(2x+2)dx;\\
& dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}.
\end{aligned}\right]
=-\int\limits_{-2}^{0}(2x+2)e^{-x}dx=\\
=\left[\begin{aligned}
& u=2x+2;\;du=2dx;\\
& dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}.
\end{aligned}\right]
=2e^2+2-2\int\limits_{-2}^{0}e^{-x}dx
=4.
\]
Ответ:
4