2476-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2476 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией [math]x^4-ax^3+a^2y^2=0[/math].

Решение

Для начала обсудим возможные значения параметра [math]a[/math]. Если [math]a=0[/math], то получим [math]x^4=0[/math], т.е. [math]x=0[/math]. Это значит, что при [math]a=0[/math] заданному уравнению удовлетворяют только точки на оси Oy. Пусть теперь [math]a\neq{0}[/math].


Докажем, что кривые, у которых параметры [math]a[/math] равны по модулю, но имеют противоположные знаки, симметричны относительно оси Ox. Рассмотрим две кривые. У одной параметр [math]a=p\gt{0}[/math], а у иной параметр [math]a=-p\lt{0}[/math]. Уравнение первой кривой: [math]x^4-px^3+p^2y^2=0[/math]. Уравнение второй кривой: [math]x^4-(-p)x^3+(-p)^2y^2=0[/math], [math]x^4+px^3+p^2y^2=0[/math]. Отметим, что уравнение первой кривой можно записать в таком виде: [math]x^4+p^2y^2=px^3[/math]. Так как [math]x^4+p^2y^2\ge{0}[/math], то и [math]px^3\ge{0}[/math], т.е. [math]x\ge{0}[/math]. Это означает, что первая кривая, в которой параметр положителен, лежит справа от оси Oy. Аналогично несложно показать, что кривая, у которой параметр отрицателен, лежит слева от оси Oy.

Покажем, что если точка [math](x_0;y_0)[/math] принадлежит графику первой кривой, то симметричная относительно оси Oy точка [math](-x_0;y_0)[/math] принадлежит графику второй кривой. Так как [math](x_0;y_0)[/math] лежит на кривой [math]x^4-px^3+p^2y^2=0[/math], то [math]x_{0}^{4}-px_{0}^{3}+p^2y_{0}^{2}=0[/math]. Из данного равенства имеем:

[dmath] \left(-x_{0}\right)^{4}+p\cdot\left(-x_{0}\right)^{3}+p^2y_{0}^{2}=0 [/dmath]

Последнее равенство и означает, что точка [math](-x_0;y_0)[/math] лежит на кривой [math]x^4+px^3+p^2y^2=0[/math]. Доказанная симметричность даёт на возможность, не умаляя общности, рассмотреть лишь случай [math]a\gt{0}[/math]. Согласно сделанному выше замечанию, в этом случае [math]x\ge{0}[/math]. Кроме того, записав уравнение кривой в виде [math]y^2=\frac{1}{a^2}\left(ax^3-x^4\right)[/math], делаем вывод, что [math]ax^3-x^4\ge{0}[/math], откуда имеем [math]0\le{x}\le{a}[/math]. Далее, кривая пересекает ось абсцисс в точках [math](0;0)[/math] и [math](a;0)[/math]. Добавим ещё одно свойство: если кривая проходит через точку [math](x_0;y_0)[/math], то она проходит и через точку [math](x_0;-y_0)[/math], что означает симметрию относительно оси Oy. Исходя из данной симметрии имеем [math]S=2S_1[/math], где [math]S_1[/math] – часть кривой, лежащая над осью абсцисс. Для этой части кривой имеем [math]y=\frac{1}{a}\sqrt{ax^3-x^4}[/math].

2476-1.png

[math] S=\frac{2}{a}\int\limits_{0}^{a}x\sqrt{ax-x^2}dx =\left[\begin{aligned} & x=a\sin^2{t};\;dx=2a\sin{t}\cos{t}dt.\\ & \begin{array} {c|c|c} x & 0 & a \\ \hline t & 0 & \pi/2 \end{array} \end{aligned}\right] =4a^2\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^2{t}\sqrt{\sin^2{t}-\sin^4{t}}\sin{t}\cos{t}dt=\\ =4a^2\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^4{t}\cos^2{t}dt =a^2\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^2{2t}\sin^2{t}dt =a^2\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos{4t}}{2}\cdot\frac{1-\cos{2t}}{2}dt =\frac{a^2}{4}\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(1-\frac{1}{2}\cos{2t}-\cos{4t}+\frac{1}{2}\cos{6t}\right)dt =\frac{\pi{a}^2}{8}. [/math]

Если же [math]a\lt{0}[/math], то доказанная выше симметричность кривых относительно оси ординат, означает, что полученная формула для площади [math]S[/math] останется в силе.

Ответ

[math]\frac{\pi{a}^2}{8}[/math]