Задача №1707
Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией \(x^4-ax^3+a^2y^2=0\).
Для начала обсудим возможные значения параметра \(a\). Если \(a=0\), то получим \(x^4=0\), т.е. \(x=0\). Это значит, что при \(a=0\) заданному уравнению удовлетворяют только точки на оси Oy. Пусть теперь \(a\neq{0}\).
Докажем, что кривые, у которых параметры \(a\) равны по модулю, но имеют противоположные знаки, симметричны относительно оси Ox. Рассмотрим две кривые. У одной параметр \(a=p\gt{0}\), а у иной параметр \(a=-p\lt{0}\). Уравнение первой кривой: \(x^4-px^3+p^2y^2=0\). Уравнение второй кривой: \(x^4-(-p)x^3+(-p)^2y^2=0\), \(x^4+px^3+p^2y^2=0\). Отметим, что уравнение первой кривой можно записать в таком виде: \(x^4+p^2y^2=px^3\). Так как \(x^4+p^2y^2\ge{0}\), то и \(px^3\ge{0}\), т.е. \(x\ge{0}\). Это означает, что первая кривая, в которой параметр положителен, лежит справа от оси Oy. Аналогично несложно показать, что кривая, у которой параметр отрицателен, лежит слева от оси Oy.
Покажем, что если точка \((x_0;y_0)\) принадлежит графику первой кривой, то симметричная относительно оси Oy точка \((-x_0;y_0)\) принадлежит графику второй кривой. Так как \((x_0;y_0)\) лежит на кривой \(x^4-px^3+p^2y^2=0\), то \(x_{0}^{4}-px_{0}^{3}+p^2y_{0}^{2}=0\). Из данного равенства имеем:
Последнее равенство и означает, что точка \((-x_0;y_0)\) лежит на кривой \(x^4+px^3+p^2y^2=0\). Доказанная симметричность даёт на возможность, не умаляя общности, рассмотреть лишь случай \(a\gt{0}\). Согласно сделанному выше замечанию, в этом случае \(x\ge{0}\). Кроме того, записав уравнение кривой в виде \(y^2=\frac{1}{a^2}\left(ax^3-x^4\right)\), делаем вывод, что \(ax^3-x^4\ge{0}\), откуда имеем \(0\le{x}\le{a}\). Далее, кривая пересекает ось абсцисс в точках \((0;0)\) и \((a;0)\). Добавим ещё одно свойство: если кривая проходит через точку \((x_0;y_0)\), то она проходит и через точку \((x_0;-y_0)\), что означает симметрию относительно оси Oy. Исходя из данной симметрии имеем \(S=2S_1\), где \(S_1\) – часть кривой, лежащая над осью абсцисс. Для этой части кривой имеем \(y=\frac{1}{a}\sqrt{ax^3-x^4}\).
Если же \(a\lt{0}\), то доказанная выше симметричность кривых относительно оси ординат, означает, что полученная формула для площади \(S\) останется в силе.