Задача №1706
Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией \(y^2=x^2-x^4\).
Так как \(y^2\ge{0}\), то и \(x^2-x^4\ge{0}\), откуда имеем \(-1\le{x}\le{1}\). Кривая пересекает ось абсцисс в точках \((-1;0)\), \((0;0)\) и \((1;0)\).
Если точка \((x_0;y_0)\) принадлежит кривой, то ввиду \(y_{0}^{2}=(-y_0)^2\) и \(x_{0}^{2}=(-x_0)^2\) получаем, что точки \((-x_0;y_0)\) и \((x_0;-y_0)\) также принадлежат кривой. Следовательно, данная кривая симметрична относительно координатных осей Ox и Oy. Это означает, что искомая площадь \(S=4S_1\), где \(S_1\) – часть площади, ограниченная данной линией в первой четверти. При \(y\ge{0}\), т.е. в первой и второй четвертях, уравнение кривой будет таким: \(y=\sqrt{x^2-x^4}\).
Для наглядности я вставлю чертёж всей кривой, отдельным цветом выделив часть кривой в первой четверти:
