2475-1
Информация о задаче
Задача №2475 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией [math]y^2=x^2-x^4[/math].
Решение
Так как [math]y^2\ge{0}[/math], то и [math]x^2-x^4\ge{0}[/math], откуда имеем [math]-1\le{x}\le{1}[/math]. Кривая пересекает ось абсцисс в точках [math](-1;0)[/math], [math](0;0)[/math] и [math](1;0)[/math].
Если точка [math](x_0;y_0)[/math] принадлежит кривой, то ввиду [math]y_{0}^{2}=(-y_0)^2[/math] и [math]x_{0}^{2}=(-x_0)^2[/math] получаем, что точки [math](-x_0;y_0)[/math] и [math](x_0;-y_0)[/math] также принадлежат кривой. Следовательно, данная кривая симметрична относительно координатных осей Ox и Oy. Это означает, что искомая площадь [math]S=4S_1[/math], где [math]S_1[/math] – часть площади, ограниченная данной линией в первой четверти. При [math]y\ge{0}[/math], т.е. в первой и второй четвертях, уравнение кривой будет таким: [math]y=\sqrt{x^2-x^4}[/math].
Для наглядности я вставлю чертёж всей кривой, отдельным цветом выделив часть кривой в первой четверти:
[dmath] S=4\int\limits_{0}^{1}\sqrt{x^2-x^4}dx =4\int\limits_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx =-2\int\limits_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^{1/2}d\left(1-x^2\right) =-\frac{4}{3}\cdot\left.\left(1-x^2\right)^{3/2}\right|_{0}^{1} =\frac{4}{3}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{4}{3}[/math]
