2474-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2474 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией [math]y^2=\left(1-x^2\right)^3[/math].

Решение

Так как [math]y^2\ge{0}[/math], то и [math]\left(1-x^2\right)^3\ge{0}[/math], откуда имеем [math]-1\le{x}\le{1}[/math]. Исходя из условия [math]-1\le{x}\le{1}[/math] делаем вывод, что [math]0\le{1-x^2}\le{1}[/math], т.е. [math]y^2\le{1}[/math], откуда следует [math]-1\le{y}\le{1}[/math]. Отсюда заключаем, что данная линия расположена в квадрате [math]-1\le{x}\le{1}[/math], [math]-1\le{y}\le{1}[/math]. Кривая пересекает ось абсцисс в точках [math](-1;0)[/math] и [math](1;0)[/math], а ось ординат в точках [math](0;-1)[/math] и [math](1;0)[/math].

Далее, если точка [math](x_0;y_0)[/math] принадлежит кривой, то ввиду [math]y_{0}^{2}=(-y_0)^2[/math] и [math]x_{0}^{2}=(-x_0)^2[/math] получаем, что точки [math](-x_0;y_0)[/math] и [math](x_0;-y_0)[/math] также принадлежат кривой. Это значит, что данная кривая симметрична относительно координатных осей Ox и Oy. В свою очередь, это означает, что искомая площадь [math]S=4S_1[/math], где [math]S_1[/math] – часть площади, ограниченная данной линией в первой четверти. При [math]y\ge{0}[/math], т.е. в первой и второй четвертях, уравнение кривой будет таким: [math]y=\left(1-x^2\right)^{3/2}[/math].

Для наглядности я вставлю чертёж всей кривой, отдельным цветом выделив часть кривой в первой четверти:

2474-1.png

[math] S=4\int\limits_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^{3/2}dx =\left[\begin{aligned} & x=\sin{t};\;dx=\cos{t}dt.\\ & \begin{array} {c|c|c} x & 0 & 1 \\ \hline t & 0 & \pi/2 \end{array} \end{aligned}\right] =4\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^4{t}dt=\\ =\int\limits_{0}^{\pi/2}(1+\cos{2t})^2dt =\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\frac{3}{2}+2\cos{2t}+\frac{1}{2}\cos{4t}\right)dt =\left.\left(\frac{3t}{2}+\sin{2t}+\frac{\sin{4t}}{8}\right)\right|_{0}^{\pi/2} =\frac{3\pi}{4}. [/math]

Ответ

[math]\frac{3\pi}{4}[/math]