2473-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2473 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти площадь петли линии [math]y^2=x(x-1)^2[/math].

Решение

Так как [math]y^2\ge{0}[/math], то [math]x(x-1)^2\ge{0}[/math], что равносильно [math]x\ge{0}[/math]. При условии [math]x\ge{0}[/math] получим две ветви заданного графика:

[dmath] |y|=\sqrt{x}\cdot|x-1|;\; \left[\begin{aligned} &y=-\sqrt{x}\cdot|x-1|;\\ &y=\sqrt{x}\cdot|x-1|. \end{aligned}\right. [/dmath]

Эти ветви симметричны относительно оси абсцисс, при этом каждая ветвь имеет с данной осью две общие точки: [math](0;0)[/math] и [math](1;1)[/math]. Если [math]x\in(0;1)\cup(1;+\infty)[/math], то ветвь [math]y=-\sqrt{x}\cdot|x-1|[/math] расположена под осью Ox, а ветвь [math]y=\sqrt{x}\cdot|x-1|[/math] – над данной осью.

2473-1.png

Рассматриваемые ветви образуют петлю при [math]x\in[0;1][/math]. Так как ветви симметричны относительно оси абсцисс, то искомая площадь [math]S=2S_1[/math], где [math]S_1[/math] – площадь между ветвью [math]y=\sqrt{x}\cdot|x-1|[/math] и осью Ox.

[math] S=2\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}\cdot|x-1|\right)dx =2\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}\cdot(1-x)\right)dx =2\int\limits_{0}^{1}\left(x^{1/2}-x^{3/2}\right)dx =4\cdot\left.\left(\frac{x^{3/2}}{3}-\frac{x^{5/2}}{5}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{8}{15}. [/math]

Ответ

[math]\frac{8}{15}[/math]