Задача №1704
Условие
Найти площадь петли линии \(y^2=x(x-1)^2\).
Решение
Так как \(y^2\ge{0}\), то \(x(x-1)^2\ge{0}\), что равносильно \(x\ge{0}\). При условии \(x\ge{0}\) получим две ветви заданного графика:
\[
|y|=\sqrt{x}\cdot|x-1|;\;
\left[\begin{aligned}
& y=-\sqrt{x}\cdot|x-1|;\\
& y=\sqrt{x}\cdot|x-1|.
\end{aligned}\right.
\]
Эти ветви симметричны относительно оси абсцисс, при этом каждая ветвь имеет с данной осью две общие точки: \((0;0)\) и \((1;1)\). Если \(x\in(0;1)\cup(1;+\infty)\), то ветвь \(y=-\sqrt{x}\cdot|x-1|\) расположена под осью Ox, а ветвь \(y=\sqrt{x}\cdot|x-1|\) – над данной осью.
Рассматриваемые ветви образуют петлю при \(x\in[0;1]\). Так как ветви симметричны относительно оси абсцисс, то искомая площадь \(S=2S_1\), где \(S_1\) – площадь между ветвью \(y=\sqrt{x}\cdot|x-1|\) и осью Ox.
\[
S=2\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}\cdot|x-1|\right)dx
=2\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}\cdot(1-x)\right)dx
=2\int\limits_{0}^{1}\left(x^{1/2}-x^{3/2}\right)dx
=4\cdot\left.\left(\frac{x^{3/2}}{3}-\frac{x^{5/2}}{5}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{8}{15}.
\]
Ответ:
\(\frac{8}{15}\)