Задача №1703
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией \((y-x-2)^2=9x\) и осями координат.
Ввиду того, что \((y-x-2)^2\ge{0}\), из уравнения \((y-x-2)^2=9x\) имеем \(x\ge{0}\). При условии \(x\ge{0}\) получим:
Таким образом, график состоит из двух ветвей. Данные ветви имеют лишь одну общую точку: \((0;2)\). Если \(x\gt{0}\), то для функции \(y=x+3\sqrt{x}+2\) имеем \(y\gt{0}\), т.е. график функции \(y=x+3\sqrt{x}+2\) не пересекает ось абсцисс, а с осью ординат имеет общую точку \((0;2)\).
Рассмотрим иную ветвь: \(y=x-3\sqrt{x}+2\). С осью ординат данная функция имеет общую точку \((0;2)\). Определим точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс. Полагая \(t=\sqrt{x}\) и решая соответствующее квадратное уравнение \(t^2-3t+2=0\), получим \(t_1=1\), \(t_2=2\), т.е. график пересекает ось абсцисс в точках \((1;0)\) и \((4;0)\). Если \(x\in(0;1)\cup(4;+\infty)\), то \(y\gt{0}\), а если \(x\in(1;4)\), то \(y\lt{0}\).
