2472-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2472 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией [math](y-x-2)^2=9x[/math] и осями координат.

Решение

Ввиду того, что [math](y-x-2)^2\ge{0}[/math], из уравнения [math](y-x-2)^2=9x[/math] имеем [math]x\ge{0}[/math]. При условии [math]x\ge{0}[/math] получим:

[dmath] |y-x-2|=3\sqrt{x};\; \left[\begin{aligned} & y=x-3\sqrt{x}+2;\\ & y=x+3\sqrt{x}+2. \end{aligned}\right. [/dmath]

Таким образом, график состоит из двух ветвей. Данные ветви имеют лишь одну общую точку: [math](0;2)[/math]. Если [math]x\gt{0}[/math], то для функции [math]y=x+3\sqrt{x}+2[/math] имеем [math]y\gt{0}[/math], т.е. график функции [math]y=x+3\sqrt{x}+2[/math] не пересекает ось абсцисс, а с осью ординат имеет общую точку [math](0;2)[/math].

Рассмотрим иную ветвь: [math]y=x-3\sqrt{x}+2[/math]. С осью ординат данная функция имеет общую точку [math](0;2)[/math]. Определим точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс. Полагая [math]t=\sqrt{x}[/math] и решая соответствующее квадратное уравнение [math]t^2-3t+2=0[/math], получим [math]t_1=1[/math], [math]t_2=2[/math], т.е. график пересекает ось абсцисс в точках [math](1;0)[/math] и [math](4;0)[/math]. Если [math]x\in(0;1)\cup(4;+\infty)[/math], то [math]y\gt{0}[/math], а если [math]x\in(1;4)[/math], то [math]y\lt{0}[/math].

2472-1.png

[math] S_1=\int\limits_{0}^{1}\left(x-3x^{1/2}+2\right)dx =\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x^{3/2}+2x\right)\right|_{0}^{1} =\frac{1}{2}. [/math]

[math] S_1=\int\limits_{1}^{4}\left(0-\left(x-3x^{1/2}+2\right)\right)dx =\int\limits_{1}^{4}\left(-x+3x^{1/2}-2\right)dx =\left.\left(-\frac{x^2}{2}+2x^{3/2}-2x\right)\right|_{1}^{4} =\frac{1}{2}. [/math]

[dmath] S=S_1+S_2=1. [/dmath]

Ответ

1