Задача №1701
Условие
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и линией \(y=x-x^2\sqrt{x}\).
Решение
Область определения данной функции: \(D(y)=[0;+\infty)\). Если \(x=0\), то \(y=0\), т.е. точка \((0;0)\) принадлежит графику функции. Найдём иные точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Полагая \(x\gt{0}\), получим:
\[
x-x^2\sqrt{x}=0;\;
x\sqrt{x}=1;\;
x^{\frac{3}{2}}=1;\;
x=1.
\]
График пересекает ось абсцисс в точках \((0;0)\) и \((1;0)\). Если \(0\lt{x}\lt{1}\), то \(y\gt{0}\), т.е. график лежит над осью абсцисс; если \(x\gt{1}\), то \(y\lt{0}\), т.е. график лежит под осью абсцисс.
\[
S=\int\limits_{0}^{1}\left(x-x^{\frac{5}{2}}\right)dx
=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{2x^{5/7}}{7}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{3}{14}.
\]
Ответ:
\(\frac{3}{14}\)