2471-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2471 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

  1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и линией [math]y=x-x^2\sqrt{x}[/math].
  2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями линии [math](y-x)^2=x^5[/math] и прямой [math]x=4[/math].

Решение

Пункт №1

Область определения данной функции: [math]D(y)=[0;+\infty)[/math]. Если [math]x=0[/math], то [math]y=0[/math], т.е. точка [math](0;0)[/math] принадлежит графику функции. Найдём иные точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Полагая [math]x\gt{0}[/math], получим:

[dmath] x-x^2\sqrt{x}=0;\; x\sqrt{x}=1;\; x^{\frac{3}{2}}=1;\; x=1. [/dmath]

График пересекает ось абсцисс в точках [math](0;0)[/math] и [math](1;0)[/math]. Если [math]0\lt{x}\lt{1}[/math], то [math]y\gt{0}[/math], т.е. график лежит над осью абсцисс; если [math]x\gt{1}[/math], то [math]y\lt{0}[/math], т.е. график лежит под осью абсцисс.

2471-1.png

[math] S=\int\limits_{0}^{1}\left(x-x^{\frac{5}{2}}\right)dx =\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{2x^{5/7}}{7}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{3}{14}. [/math]

Пункт №2

Так как [math](y-x)^2\ge{0}[/math], то [math]x^5\ge{0}[/math], т.е. [math]x\ge{0}[/math]. Из уравнения [math](y-x)^2=x^5[/math] имеем:

[dmath] |y-x|=x^2\sqrt{x};\; \left[\begin{aligned} & y-x=-x^2\sqrt{x};\\ & y-x=x^2\sqrt{x}.\\ \end{aligned}\right.\; \left[\begin{aligned} & y=x-x^2\sqrt{x};\\ & y=x+x^2\sqrt{x}.\\ \end{aligned}\right. [/dmath]

Получили уравнения двух веток функции. Данные ветки имеют лишь одну общую точку: [math](0;0)[/math].

2471(2)-1.png

[math] S=\int\limits_{0}^{4}\left(x+x^2\sqrt{x}-\left(x-x^2\sqrt{x}\right)\right)dx =2\int\limits_{0}^{4}x^{5/2}dx =\frac{4}{7}\cdot\left.x^{7/2}\right|_{0}^{4} =73\frac{1}{7}. [/math]

Ответ

  1. [math]\frac{3}{14}[/math]
  2. [math]73\frac{1}{7}[/math]