2469-1

Информация о задаче

Задача №2469 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат и линией [math]x=y^2(y-1)[/math].

Решение

Найдём точки пересечения графика функции [math]x=y^2(y-1)[/math] с осью Oy:

[dmath] y^2(y-1)=0;\\ y_1=0;\;y_2=1. [/dmath]

Если [math]y\gt{1}[/math], то [math]x\gt{0}[/math], т.е. график лежит справа от оси ординат; если [math]0\lt{y}\lt{1}[/math] или [math]y\lt{0}[/math], то [math]x\lt{0}[/math], т.е. график лежит слева от оси ординат.

[math] S=\int\limits_{0}^{1}\left(0-y^2(y-1)\right)dy =\int\limits_{0}^{1}\left(-y^3+y^2\right)dy =\left.\left(-\frac{y^4}{4}+\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{1}{12}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{12}[/math]