Задача №1700
Условие
Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат и линией \(x=y^2(y-1)\).
Решение
Найдём точки пересечения графика функции \(x=y^2(y-1)\) с осью Oy:
\[
y^2(y-1)=0;\\
y_1=0;\;y_2=1.
\]
Если \(y\gt{1}\), то \(x\gt{0}\), т.е. график лежит справа от оси ординат; если \(0\lt{y}\lt{1}\) или \(y\lt{0}\), то \(x\lt{0}\), т.е. график лежит слева от оси ординат.
\[
S=\int\limits_{0}^{1}\left(0-y^2(y-1)\right)dy
=\int\limits_{0}^{1}\left(-y^3+y^2\right)dy
=\left.\left(-\frac{y^4}{4}+\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{1}{12}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{12}\)