2468-1

Информация о задаче

Задача №2468 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией [math]y=x(x-1)^2[/math] и осью абсцисс.

Решение

Найдём точки пересечения графика функции [math]y=x(x-1)^2[/math] с осью Ox:

[dmath] x(x-1)^2=0;\\ x_1=0;\;x_2=1. [/dmath]

Если [math]x\lt{0}[/math], то [math]y\lt{0}[/math], т.е. график лежит под осью абсцисс; если [math]0\lt{x}\lt{1}[/math] или [math]x\gt{1}[/math], то [math]y\gt{0}[/math], т.е. график лежит над осью абсцисс.

[math] S=\int\limits_{0}^{1}\left(x^3-2x^2+x\right)dx =\left.\left(\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{1}{12}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{12}[/math]