Задача №1698
Условие
Вычислить площадь фигуры, заключённой между линией \(y=\frac{1}{1+x^2}\) и параболой \(y=\frac{x^2}{2}\).
Решение
Найдём точки пересечения заданных линий, решив систему:
\[
\left\{\begin{aligned}
& y=\frac{1}{1+x^2};\\
& y=\frac{x^2}{2}.
\end{aligned}\right.
\]
\[\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{2};\; x^4+x^2-2=0\]
.
Полагая \(t=x^2\) и решая квадратное уравнение \(t^2+t-2=0\), получим один неотрицательный корень \(t=1\). Следовательно, \(x^2=1\), откуда имеем \(x_1=-1\), \(x_2=1\). Графики пересекаются в точках \((1;1)\) и \((-1;1)\).
Стоит отметить, что заданные функции являются чётными, поэтому их графики симметричны относительно оси ординат. Это означает, что искомая площадь состоит из двух одинаковых частей. Пусть \(S_1\) – часть площади, расположенная справа от оси ординат.
\[
S
=2S_1
=2\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx
=2\cdot\left.\left(\arctg{x}-\frac{x^3}{6}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}.
\]
Ответ:
\(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\)