2467-1

Информация о задаче

Задача №2467 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, заключённой между линией [math]y=\frac{1}{1+x^2}[/math] и параболой [math]y=\frac{x^2}{2}[/math].

Решение

Найдём точки пересечения заданных линий, решив систему:

[math] \left\{\begin{aligned} & y=\frac{1}{1+x^2};\\ & y=\frac{x^2}{2}. \end{aligned}\right. [/math]

[math]\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{2}[/math], [math]x^4+x^2-2=0[/math].

Полагая [math]t=x^2[/math] и решая квадратное уравнение [math]t^2+t-2=0[/math], получим один неотрицательный корень [math]t=1[/math]. Следовательно, [math]x^2=1[/math], откуда имеем [math]x_1=-1[/math], [math]x_2=1[/math]. Графики пересекаются в точках [math](1;1)[/math] и [math](-1;1)[/math].

Стоит отметить, что заданные функции являются чётными, поэтому их графики симметричны относительно оси ординат. Это означает, что искомая площадь состоит из двух одинаковых частей. Пусть [math]S_1[/math] – часть площади, расположенная справа от оси ординат.

[math] S =2S_1 =2\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx =2\cdot\left.\left(\arctg{x}-\frac{x^3}{6}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}. [/math]

Ответ

[math]\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}[/math]