2466-1

Информация о задаче

Задача №2466 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площади криволинейных фигур, образованных пересечением эллипса [math]\frac{x^2}{4}+y^2=1[/math] и гиперболы [math]\frac{x^2}{2}-y^2=1[/math].

Решение

Гипербола [math]\frac{x^2}{2}-y^2=1[/math] имеет полуоси [math]\sqrt{2}[/math] и [math]1[/math]; эллипс [math]\frac{x^2}{4}+y^2=1[/math] имеет полуоси [math]2[/math], [math]1[/math].

Ввиду симметричности гиперболы и эллипса относительно оси ординат, делаем вывод, что площади двух из упомянутых в условии трёх частей равны между собой. Таким образом, имеем три части, с площадями [math]S_1[/math], [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math], где [math]S_1[/math] – площадь каждой из областей внутри гиперболы, а [math]S_2[/math] – площадь области вне гиперболы.

Рассмотрим площадь [math]S_1[/math], расположенную справа от оси ординат. Так как гипербола и эллипс симметричны относительно оси абсцисс, то [math]S_1=2S_0[/math], где [math]S_0[/math] – часть рассматриваемой площади [math]S_1[/math], расположенная над осью абсцисс. Площадь [math]S_0[/math] находится в первом квадранте, где гипербола и эллипс имеют такие уравнения: [math]x=\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+y^2}[/math], [math]x=2\cdot\sqrt{1-y^2}[/math].

Найдём ординаты точек пересечения гиперболы и окружности:

[dmath] \left\{\begin{aligned} &\frac{x^2}{4}+y^2=1;\\ &\frac{x^2}{2}-y^2=1. \end{aligned}\right. [/dmath]

[dmath] 3y^2=1;\; y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}. [/dmath]

Для дальнейших вычислений будем использовать интеграл [math]\int\sqrt{x^2+k}dx[/math], найденный при решении 2464-1, а также интеграл [math]\int\sqrt{a^2-x^2}dx[/math], найденный в задаче 2465-1.

[math] S_1=2S_0 =2\int\limits_{0}^{1/\sqrt{3}}\left(2\cdot\sqrt{1-y^2}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+y^2}\right)dy=\\ =2\cdot\left.\left(y\sqrt{1-y^2}+\arcsin{y}\right)\right|_{0}^{1/\sqrt{3}} -\sqrt{2}\cdot\left.\left(y\sqrt{y^2+1}+\ln\left|y+\sqrt{y^2+1}\right|\right)\right|_{0}^{1/\sqrt{3}} =2\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\ln{3}}{\sqrt{2}}. [/math]

Так как площадь эллипса с полуосями 2 и 1 равна [math]2\pi[/math], то получим:

[dmath] S_2 =2\pi-2S_1 =2\pi-2\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\ln{3}}{\sqrt{2}}. [/dmath]

Ответ

[math]2\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\ln{3}}{\sqrt{2}}[/math], [math]2\pi-2\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\ln{3}}{\sqrt{2}}[/math].