Задача №1696
Окружность \(x^2+y^2=a^2\) разбивается гиперболой \(x^2-2y^2=\frac{a^2}{4}\) на три части. Определить площади этих частей.
В ходе решения этой задачи, а также некоторых последующих задач, нам потребуется находить интеграл от функции вида \(\sqrt{a^2-x^2}\), где \(a\neq{0}\). Рассмотрим этот интеграл отдельно:
Вернёмся к нашей задаче. Гипербола \(\frac{x^2}{a^2/4}-\frac{y^2}{a^2/8}=1\) имеет полуоси \(\frac{a}{2}\) и \(\frac{a}{2\sqrt{2}}\). Ввиду симметричности гиперболы и окружности относительно оси ординат, делаем вывод, что площади двух из упомянутых в условии трёх частей равны между собой. Таким образом, имеем три части, с площадями \(S_1\), \(S_1\) и \(S_2\), где \(S_1\) – площадь каждой из областей внутри гиперболы, а \(S_2\) – площадь области вне гиперболы.
Рассмотрим площадь \(S_1\), расположенную справа от оси ординат. Так как гипербола и окружность симметричны относительно оси абсцисс, то \(S_1=2S_0\), где \(S_0\) – часть рассматриваемой площади \(S_1\), расположенная над осью абсцисс. Площадь \(S_0\) находится в первом квадранте, где гипербола и окружность имеют такие уравнения: \(x=\sqrt{a^2-y^2}\), \(x=\sqrt{2y^2+\frac{a^2}{4}}\).
Найдём ординаты точек пересечения гиперболы и окружности:
Для дальнейших вычислений будем использовать интеграл \(\int\sqrt{x^2+k}dx\), найденный при решении 1695.
Так как площадь окружности радиуса \(a\) равна \(\pi{a}^2\), то получим:
- \(a^2\cdot\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{2}}{8}\ln\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\right)\)
- \(a^2\cdot\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ln\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\right)\)