2464-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2464 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы и её хордой, проведённой из фокуса перпендикулярно к действительной оси.

Решение

В ходе решения этой задачи, а также некоторых последующих задач, нам потребуется находить интеграл от функции вида [math]\sqrt{x^2+k}[/math], где [math]k\neq{0}[/math]. Рассмотрим этот интеграл отдельно:

[math] \int\sqrt{x^2+k}dx =\left[\begin{aligned} & u=\sqrt{x^2+k};\;du=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+k}};\\ & dv=dx;\;v=x. \end{aligned}\right] =x\sqrt{x^2+k}-\int\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+k}}=\\ =x\sqrt{x^2+k}-\int\frac{x^2+k-k}{\sqrt{x^2+k}}dx =x\sqrt{x^2+k}-\int\sqrt{x^2+k}+k\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}} =x\sqrt{x^2+k}-\int\sqrt{x^2+k}+k\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|. [/math]


[dmath] \int\sqrt{x^2+k}dx =\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+k}+\frac{k}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|+C [/dmath]


Вернёмся к текущей задаче. Каноническое уравнение гиперболы: [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]. Правый фокус имеет координаты [math](c;0)[/math], где [math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math]. Проведём прямую [math]x=c[/math] из правого фокуса гиперболы. Так как гипербола симметрична относительно оси абсцисс, то искомая площадь [math]S=2S_1[/math], где [math]S_1[/math] – площадь области, расположенной над осью абсцисс. Уравнение части гиперболы, расположенной над осью абсцисс, таково: [math]y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}[/math].

2464-1.png

[math] S= 2\cdot\frac{b}{a}\int\limits_{a}^{c}\sqrt{x^2-a^2}dx =\frac{b}{a}\cdot\left.\left(x\sqrt{x^2-a^2}-a^2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|\right)\right|_{a}^{c}=\\ =\frac{b}{a}\cdot\left(c\sqrt{c^2-a^2}-a^2\ln\left|c+\sqrt{c^2-a^2}\right|+a^2\ln{a}\right) =\frac{b}{a}\cdot\left(cb-a^2\ln\frac{c+\sqrt{c^2-a^2}}{a}\right) =b\cdot\left(\varepsilon{b}-a\ln\left(\varepsilon+\sqrt{\varepsilon^2-1}\right)\right) [/math]

Здесь [math]\varepsilon=\frac{c}{a}[/math] – эксцентриситет гиперболы.

Ответ