2463-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2463 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Из круга радиуса [math]a[/math] вырезан эллипс, большая ось которого совпадает с одним из диаметров круга, а меньшая равна [math]2b[/math]. Доказать, что площадь оставшейся части равна площади эллипса с полуосями [math]a[/math] и [math]a-b[/math].

Решение

Найдём площадь [math]S[/math] эллипса с полуосями [math]a[/math] и [math]b[/math]. Каноническое уравнение эллипса: [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]. Так как эллипс симметричен относительно координатных осей, то [math]S=4S_1[/math], где [math]S_1[/math] – площадь части эллипса, расположенной в первом квадранте.

[dmath] S =4S_1 =4b\int\limits_{0}^{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx =\left[\begin{aligned} & x=a\sin{t};\;dx=a\cos{t}dt.\\ & \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\cos{t};\;\begin{array} {c|c|c} x & 0 & a\\ \hline t & 0 & \pi/2 \end{array}. \end{aligned}\right] =4ab\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{t}dt =2ab\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos{2t}\right)dt =2ab\cdot\frac{\pi}{2} =\pi{a}{b}. [/dmath]


Вернёмся к нашей задаче. Из окружности, площадь которой равняется [math]\pi{a^2}[/math], вырезан эллипс, площадь которого равна [math]\pi{a}{b}[/math]. Оставшаяся фигура имеет такую площадь:

[dmath] \pi{a}{b} - \pi{a}{b} =\pi{a}(a-b). [/dmath]

Согласно доказанной выше формуле, выражение [math]\pi{a}(a-b)[/math] равно площади эллипса с полуосями [math]a[/math] и [math]a-b[/math].

Ответ

Утверждение доказано.