Задача №1694

Условие

Из круга радиуса \(a\) вырезан эллипс, большая ось которого совпадает с одним из диаметров круга, а меньшая равна \(2b\). Доказать, что площадь оставшейся части равна площади эллипса с полуосями \(a\) и \(a-b\).

Решение

Найдём площадь \(S\) эллипса с полуосями \(a\) и \(b\). Каноническое уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\). Так как эллипс симметричен относительно координатных осей, то \(S=4S_1\), где \(S_1\) – площадь части эллипса, расположенной в первом квадранте.

\[ S =4S_1 =4b\int\limits_{0}^{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx =\left[\begin{aligned} & x=a\sin{t};\;dx=a\cos{t}dt.\\ & \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\cos{t};\;\begin{array} {c|c|c} x & 0 & a\\ \hline t & 0 & \pi/2 \end{array}. \end{aligned}\right]=\\ =4ab\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{t}dt =2ab\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos{2t}\right)dt =2ab\cdot\frac{\pi}{2} =\pi{a}{b}. \]

Вернёмся к нашей задаче. Из окружности, площадь которой равняется \(\pi{a^2}\), вырезан эллипс, площадь которого равна \(\pi{a}{b}\). Оставшаяся фигура имеет такую площадь:

\[ \pi{a}{b} - \pi{a}{b} =\pi{a}(a-b). \]

Согласно доказанной выше формуле, выражение \(\pi{a}(a-b)\) равно площади эллипса с полуосями \(a\) и \(a-b\).

Ответ:

Утверждение доказано.

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №8	Применения интеграла
Параграф №1	Некоторые задачи геометрии и статики
Задача №2463