2462-1
Информация о задаче
Задача №2462 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти площади фигур, на которые парабола [math]y^2=6x[/math] делит окружность [math]x^2+y^2=16[/math].
Решение
Найдём точки пересечения заданных линий:
[dmath] \left\{\begin{aligned} &y^2=6x;\\ &x^2+y^2=16. \end{aligned}\right.\\ x^2+6x=16;\;\;x=2. [/dmath]
Графики пересекаются в точках [math](2;-2\sqrt{3})[/math] и [math](2;2\sqrt{3})[/math]. Пусть [math]S_1[/math] – площадь области, расположенной внутри параболы, а [math]S_2[/math] – область вне параболы. Так как и парабола и окружность симметричны относительно оси абсцисс, то [math]S_1=2S_0[/math], где [math]S_0[/math] – площадь области, расположенной внутри параболы над осью абсцисс.
[dmath] S_1=2S_0 =2\int\limits_{0}^{2\sqrt{3}}\left(\sqrt{16-y^2}-\frac{y^2}{6}\right)dy =2\int\limits_{0}^{2\sqrt{3}}\sqrt{16-y^2}dy-\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{2\sqrt{3}}{y^2}dy =2\int\limits_{0}^{2\sqrt{3}}\sqrt{16-y^2}dy-\frac{8\sqrt{3}}{3}=\\ =\left[\begin{aligned} & y=4\sin{t};\;dy=4\cos{t}dt.\\ & \sqrt{16-y^2}=4\cos{t};\;\begin{array} {c|c|c} y & 0 & 2\sqrt{3}\\ \hline t & 0 & \pi/3 \end{array}. \end{aligned}\right] =32\int\limits_{0}^{\pi/3}\cos^2t\,dt-\frac{8\sqrt{3}}{3} =16\int\limits_{0}^{\pi/3}\left(1+\cos{2t}\right)dt-\frac{8\sqrt{3}}{3}=\\ =16\cdot\left.\left(t+\frac{\sin{2t}}{2}\right)\right|_{0}^{\pi/3}-\frac{8\sqrt{3}}{3} =\frac{4(4\pi+\sqrt{3})}{3}. [/dmath]
Так как радиус окружности [math]R=4[/math], то:
[dmath] S_2= \pi{R^2}-S_1 =\frac{4(8\pi-\sqrt{3})}{3}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{4(4\pi+\sqrt{3})}{3}[/math], [math]\frac{4(8\pi-\sqrt{3})}{3}[/math].
