Задача №1692
Условие
Окружность \(x^2+y^2=8\) разделена параболой \(y=\frac{x^2}{2}\) на две части. Найти площади обеих частей.
Решение
Найдём точки пересечения заданных линий:
\[
\left\{\begin{aligned}
&y=\frac{x^2}{2};\\
&x^2+y^2=8.
\end{aligned}\right.\\
2y+y^2=8;\;\;y=2.
\]
Графики пересекаются в точках \((-2;2)\) и \((2;2)\). Пусть \(S_1\) – площадь области, расположенной внутри параболы, а \(S_2\) – область вне параболы. Так как и парабола и окружность симметричны относительно оси ординат, то \(S_1=2S_0\), где \(S_0\) – площадь области, расположенной внутри параболы справа от оси ординат.
\[
S_1=2S_0
=2\int\limits_{0}^{2}\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx
=2\int\limits_{0}^{2}\sqrt{8-x^2}dx-\int\limits_{0}^{2}{x^2}dx
=2\int\limits_{0}^{2}\sqrt{8-x^2}dx-\frac{8}{3}=\\
=\left[\begin{aligned}
& x=\sqrt{8}\sin{t};\;dx=\sqrt{8}\cos{t}dt.\\
& \sqrt{8-x^2}=\sqrt{8}\cos{t};\;\begin{array} {c|c|c} x & 0 & 2\\ \hline t & 0 & \pi/4 \end{array}.
\end{aligned}\right]
=16\int\limits_{0}^{\pi/4}\cos^2t\,dt-\frac{8}{3}
=8\int\limits_{0}^{\pi/4}\left(1+\cos{2t}\right)dt-\frac{8}{3}=\\
=8\cdot\left.\left(t+\frac{\sin{2t}}{2}\right)\right|_{0}^{\pi/4}-\frac{8}{3}
=2\pi+\frac{4}{3}.
\]
Так как радиус окружности \(R=\sqrt{8}\), то:
\[
S_2=
\pi{R^2}-S_1
=6\pi-\frac{4}{3}.
\]
Ответ:
\(2\pi+\frac{4}{3}\), \(6\pi-\frac{4}{3}\).