2461-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2461 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Окружность [math]x^2+y^2=8[/math] разделена параболой [math]y=\frac{x^2}{2}[/math] на две части. Найти площади обеих частей.

Решение

Найдём точки пересечения заданных линий:

[dmath] \left\{\begin{aligned} &y=\frac{x^2}{2};\\ &x^2+y^2=8. \end{aligned}\right.\\ 2y+y^2=8;\;\;y=2. [/dmath]

Графики пересекаются в точках [math](-2;2)[/math] и [math](2;2)[/math]. Пусть [math]S_1[/math] – площадь области, расположенной внутри параболы, а [math]S_2[/math] – область вне параболы. Так как и парабола и окружность симметричны относительно оси ординат, то [math]S_1=2S_0[/math], где [math]S_0[/math] – площадь области, расположенной внутри параболы справа от оси ординат.

2461-1.png

[math] S_1=2S_0 =2\int\limits_{0}^{2}\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx =2\int\limits_{0}^{2}\sqrt{8-x^2}dx-\int\limits_{0}^{2}{x^2}dx =2\int\limits_{0}^{2}\sqrt{8-x^2}dx-\frac{8}{3}=\\ =\left[\begin{aligned} & x=\sqrt{8}\sin{t};\;dx=\sqrt{8}\cos{t}dt.\\ & \sqrt{8-x^2}=\sqrt{8}\cos{t};\;\begin{array} {c|c|c} x & 0 & 2\\ \hline t & 0 & \pi/4 \end{array}. \end{aligned}\right] =16\int\limits_{0}^{\pi/4}\cos^2t\,dt-\frac{8}{3} =8\int\limits_{0}^{\pi/4}\left(1+\cos{2t}\right)dt-\frac{8}{3}=\\ =8\cdot\left.\left(t+\frac{\sin{2t}}{2}\right)\right|_{0}^{\pi/4}-\frac{8}{3} =2\pi+\frac{4}{3}. [/math]

Так как радиус окружности [math]R=\sqrt{8}[/math], то:

[dmath] S_2= \pi{R^2}-S_1 =6\pi-\frac{4}{3}. [/dmath]

Ответ

[math]2\pi+\frac{4}{3}[/math], [math]6\pi-\frac{4}{3}[/math].