Задача №1690
Условие
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами \(y^2+8x=16\) и \(y^2-24x=48\).
Решение
Запишем уравнение \(y^2+8x=16\) в таком виде: \(y^2=-8\cdot(x-2)\). Имеем уравнение параболы с вершиной в точке \((2;0)\) и осью симметрии \(Ox\). Аналогично, записав уравнение \(y^2-24x=48\) в виде \(y^2=24(x+2)\) делаем вывод, что вершина этой параболы находится в точке \((-2;0)\), а ось симметрии – \(Ox\). Так как обе параболы симметричны относительно оси абсцисс, то можно найти площадь \(S_1\), расположенную над осью \(Ox\). Тогда вся площадь \(S=2S_1\).
Найдём точки пересечения данных парабол:
\[
\left\{\begin{aligned}
& y^2=16-8x;\\
& y^2=48+24x.
\end{aligned}\right.\\
16-8x=48+24x;\;
x=-1.
\]
Параболы пересекаются в точках \((-1;-2\sqrt{6})\) и \((-1;2\sqrt{6})\).
\[
S
=2S_1
=2\int\limits_{0}^{2\sqrt{6}}\left(\frac{16-y^2}{8}-\frac{y^2-48}{24}\right)dy
=\int\limits_{0}^{2\sqrt{6}}\left(8-\frac{y^2}{3}\right)dy
=\left.\left(8y-\frac{y^3}{9}\right)\right|_{0}^{2\sqrt{6}}
=\frac{32\sqrt{6}}{3}.
\]
Ответ:
\(\frac{32\sqrt{6}}{3}\)