2459-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2459 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами [math]y^2+8x=16[/math] и [math]y^2-24x=48[/math].

Решение

Запишем уравнение [math]y^2+8x=16[/math] в таком виде: [math]y^2=-8\cdot(x-2)[/math]. Имеем уравнение параболы с вершиной в точке [math](2;0)[/math] и осью симметрии [math]Ox[/math]. Аналогично, записав уравнение [math]y^2-24x=48[/math] в виде [math]y^2=24(x+2)[/math] делаем вывод, что вершина этой параболы находится в точке [math](-2;0)[/math], а ось симметрии – [math]Ox[/math]. Так как обе параболы симметричны относительно оси абсцисс, то можно найти площадь [math]S_1[/math], расположенную над осью [math]Ox[/math]. Тогда вся площадь [math]S=2S_1[/math].

Найдём точки пересечения данных парабол:

[dmath] \left\{\begin{aligned} &y^2=16-8x;\\ &y^2=48+24x. \end{aligned}\right.\\ 16-8x=48+24x;\; x=-1. [/dmath]

Параболы пересекаются в точках [math](-1;-2\sqrt{6})[/math] и [math](-1;2\sqrt{6})[/math].

2459-1.png

[math] S =2S_1 =2\int\limits_{0}^{2\sqrt{6}}\left(\frac{16-y^2}{8}-\frac{y^2-48}{24}\right)dy =\int\limits_{0}^{2\sqrt{6}}\left(8-\frac{y^2}{3}\right)dy =\left.\left(8y-\frac{y^3}{9}\right)\right|_{0}^{2\sqrt{6}} =\frac{32\sqrt{6}}{3}. [/math]

Ответ

[math]\frac{32\sqrt{6}}{3}[/math]