2458-1

Информация о задаче

Задача №2458 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами [math]y=x^2[/math] и [math]y=\sqrt{x}[/math].

Решение

Найдём точки пересечения параболы [math]y=x^2[/math] и ветви параболы [math]y=\sqrt{x}[/math]:

[dmath] x^2=\sqrt{x};\\ \sqrt{x}\cdot\left(x^{\frac{3}{2}}-1\right)=0.\\ x_1=0;\;x_2=1. [/dmath]

Графики пересекаются в точках [math](0;0)[/math] и [math](1;1)[/math].

[math] S=\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx =\left.\left(\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{1}{3}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{3}[/math]