2457-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2457 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой [math]y^2=2px[/math] и нормалью у ней, наклонённой к оси абсцисс под углом [math]135^{\circ}[/math].

Решение

Для определённости полагаем [math]p\gt{0}[/math], что вполне соответствует знаку параметра в каноническом уравнении параболы. Обозначим [math]f(x,y)=y^2-2px[/math], тогда получим:

[dmath] y' =-\frac{f'_x(x,y)}{f'_y(x,y)} =-\frac{-2p}{2y} =\frac{p}{y}. [/dmath]

Пусть нормаль проведена в точке [math](x_0;y_0)[/math]. Угловой коэффициент нормали: [math]k=-\frac{1}{y'}=-\frac{y_0}{p}[/math]. Так как угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс, т.е. [math]k=\tg{135^{\circ}}=-1[/math], то получим:

[dmath] -\frac{y_0}{p}=-1;\; y_0=p. [/dmath]

Так как [math]y_0=p[/math], то [math]x_0=\frac{y_{0}^{2}}{2p}=\frac{p}{2}[/math]. Нормаль проведена в точке [math]\left(\frac{p}{2};p\right)[/math]. Уравнение нормали будет таким:

[dmath] y-p=-1\cdot\left(x-\frac{p}{2}\right);\; x=-y+\frac{3p}{2}. [/dmath]

Найдём точки пересечения нормали и параболы:

[dmath] \left\{\begin{aligned} & x=\frac{y^2}{2p};\\ & x=-y+\frac{3p}{2}. \end{aligned}\right. [/dmath]

Решая данную систему, мы придём к уравнению [math]y^2+2py-3p^2=0[/math], откуда получим [math]y_1=p[/math], [math]y_2=-3p[/math]. Таким образом, нормаль пересекает параболу в точках [math]\left(\frac{p}{2};p\right)[/math] и [math]\left(\frac{9p}{2};-3p\right)[/math].

2457-1.png

[dmath] S =\int\limits_{-3p}^{p}\left(-y+\frac{3p}{2}-\frac{y^2}{2p}\right) =\left.\left(-\frac{y^2}{2}+\frac{3py}{2}-\frac{y^3}{6p}\right)\right|_{-3p}^{p} =\frac{16p^2}{3}. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{16p^2}{3}[/math]