Задача №1687
Условие
Найти площадь фигуры, заключённой между параболой \(y=-x^2+4x-3\) и касательными к ней в точках \((0;-3)\) и \((3;0)\).
Решение
Уравнение \(y=-x^2+4x-3\) определяет параболу с вершиной в точке \((2;1)\) и осью симметрии – прямой \(x=2\). Так как \(y'=-2x+4\), то используя формулу \(y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)\) получим такие уравнения касательных:
\[
\begin{aligned}
& y+3=4\cdot(x-0);\;y=4x-3.\\
& y-0=-2\cdot(x-3);\;y=-2x+6.
\end{aligned}
\]
Прямые \(y=4x-3\) и \(y=-2x+6\) пересекаются в точке \(\left(\frac{3}{2};3\right)\).
\[
S=S_1+S_2
=\int\limits_{0}^{3/2}\left(4x-3-\left(-x^2+4x-3\right)\right)dx + \int\limits_{3/2}^{3}\left(-2x+6-\left(-x^2+4x-3\right)\right)dx=\\
=\int\limits_{0}^{3/2}x^2dx + \int\limits_{3/2}^{3}\left(x^2-6x+9\right)dx
=\frac{9}{8}+\frac{9}{8}
=\frac{9}{4}.
\]
Ответ:
\(\frac{9}{4}\)