2456-1
Информация о задаче
Задача №2456 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти площадь фигуры, заключённой между параболой [math]y=-x^2+4x-3[/math] и касательными к ней в точках [math](0;-3)[/math] и [math](3;0)[/math].
Решение
Уравнение [math]y=-x^2+4x-3[/math] определяет параболу с вершиной в точке [math](2;1)[/math] и осью симметрии – прямой [math]x=2[/math]. Так как [math]y'=-2x+4[/math], то используя формулу [math]y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)[/math] получим такие уравнения касательных:
[dmath] \begin{aligned} & y+3=4\cdot(x-0);\;y=4x-3.\\ & y-0=-2\cdot(x-3);\;y=-2x+6. \end{aligned} [/dmath]
Прямые [math]y=4x-3[/math] и [math]y=-2x+6[/math] пересекаются в точке [math]\left(\frac{3}{2};3\right)[/math].
[dmath] S=S_1+S_2 =\int\limits_{0}^{3/2}\left(4x-3-\left(-x^2+4x-3\right)\right)dx + \int\limits_{3/2}^{3}\left(-2x+6-\left(-x^2+4x-3\right)\right)dx=\\ =\int\limits_{0}^{3/2}x^2dx + \int\limits_{3/2}^{3}\left(x^2-6x+9\right)dx =\frac{9}{8}+\frac{9}{8} =\frac{9}{4}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{9}{4}[/math]
