Задача №1686
Условие
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых \(y^2=2x+1\) и \(x-y-1=0\).
Решение
Уравнение \(y^2=2x+1\) определяет параболу, а уравнение \(x-y-1=0\) – прямую. Найдём точки пересечения данных линий:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x=y+1;\\
& y^2=2x+1.
\end{aligned}\right.
\]
\[
y^2=2\cdot(y+1)+3;\\
y^2-2y-3=0;\\
y_1=-1;\;y_2=3.
\]
Графики пересекаются в точках \((0;-1)\) и \((4;3)\).
\[
S=
\int\limits_{-1}^{3}\left(y+1-\frac{y^2-1}{2}\right)dy
\int\limits_{-1}^{3}\left(-\frac{y^2}{2}+y+\frac{3}{2}\right)dy
=\left.\left(-\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}+\frac{3y}{2}\right)\right|_{-1}^{3}
=\frac{16}{3}.
\]
Ответ:
\(\frac{16}{3}\)