2455-1
Информация о задаче
Задача №2455 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых [math]y^2=2x+1[/math] и [math]x-y-1=0[/math].
Решение
Уравнение [math]y^2=2x+1[/math] определяет параболу, а уравнение [math]x-y-1=0[/math] – прямую. Найдём точки пересечения данных линий:
[dmath] \left\{\begin{aligned} &x=y+1;\\ &y^2=2x+1. \end{aligned}\right. [/dmath] [dmath] y^2=2\cdot(y+1)+3;\\ y^2-2y-3=0;\\ y_1=-1;\;y_2=3. [/dmath]
Графики пересекаются в точках [math](0;-1)[/math] и [math](4;3)[/math].
[dmath] S= \int\limits_{-1}^{3}\left(y+1-\frac{y^2-1}{2}\right)dy \int\limits_{-1}^{3}\left(-\frac{y^2}{2}+y+\frac{3}{2}\right)dy =\left.\left(-\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}+\frac{3y}{2}\right)\right|_{-1}^{3} =\frac{16}{3}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{16}{3}[/math]
