Задача №1685

Сразу отметим, что подынтегральная функция \(f(x)=\frac{1-\cos{x}}{x^m}\) неотрицательна на промежутке \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\). С учётом того, что при \(x\to{0+0}\) имеем \(1-\cos{x}\sim\frac{x^2}{2}\), получим:

Известно, что интеграл \(\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^k}\), где \(b\gt{a}\), сходится при \(k\lt{1}\) и расходится при \(k\ge{1}\). Доказательство можно посмотреть в книге Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, пример №4 в пункте №479 (стр. 579)).

Интеграл \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x^{m-2}}\) есть частный случай указанного выше интеграла \(\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^k}\) при \(a=0\), \(b=\frac{\pi}{2}\), \(k=m-2\). Это значит, что интеграл \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x^{m-2}}\) сходится только при условии \(m-2\lt{1}\), т.е. \(m\lt{3}\). Соответственно, при \(m\ge{3}\) данный интеграл расходится.

Отсюда следует, что интеграл \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{m-2}}\right)dx\) сходится при \(m\lt{3}\) и расходится при \(m\ge{3}\). Это значит, что и исходный интеграл \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx\) сходится и расходится при тех же условиях.