2424-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2424 параграфа №3 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

При каких значениях [math]m[/math] интеграл [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{x}}\frac{1-\cos{x}}{x^m}dx[/math] будет сходящимся?

Решение

Сразу отметим, что подынтегральная функция [math]f(x)=\frac{1-\cos{x}}{x^m}[/math] неотрицательна на промежутке [math]\left[0;\frac{\pi}{2}\right)[/math]. С учётом того, что при [math]x\to{0+0}[/math] имеем [math]1-\cos{x}\sim\frac{x^2}{2}[/math], получим:

[dmath] f(x)\sim\frac{\frac{x^2}{2}}{x^m} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{m-2}} [/dmath]

Известно, что интеграл [math]\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^k}[/math], где [math]b\gt{a}[/math], сходится при [math]k\lt{1}[/math] и расходится при [math]k\ge{1}[/math]. Доказательство можно посмотреть в книге Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, пример №4 в пункте №479 (стр. 579)).

Интеграл [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x^{m-2}}[/math] есть частный случай указанного выше интеграла [math]\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^k}[/math] при [math]a=0[/math], [math]b=\frac{\pi}{2}[/math], [math]k=m-2[/math]. Это значит, что интеграл [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x^{m-2}}[/math] сходится только при условии [math]m-2\lt{1}[/math], т.е. [math]m\lt{3}[/math]. Соответственно, при [math]m\ge{3}[/math] данный интеграл расходится.

Отсюда следует, что интеграл [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{m-2}}\right)dx[/math] сходится при [math]m\lt{3}[/math] и расходится при [math]m\ge{3}[/math]. Это значит, что и исходный интеграл [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx[/math] сходится и расходится при тех же условиях.


Ответ

[math]m\lt{3}[/math]