2419-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2419 параграфа №3 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

При каких значениях [math]k[/math] интеграл [math]\int\limits_{1}^{+\infty}{x^k}\frac{x+\sin{x}}{x-\sin{x}}dx[/math] будет сходящимся?

Решение

Сперва сделаем пару замечаний относительно подынтегральной функции [math]f(x)=x^k\frac{x+\sin{x}}{x-\sin{x}}[/math]. Если [math]x=1[/math], то [math]f(1)=\frac{1+\sin{1}}{1-\sin{1}}\gt{0}[/math]. Если же [math]x\gt{1}[/math], то ввиду неравенства [math]-1\le\sin{x}\le{1}[/math] имеем [math]x\gt{1}\ge\sin{x}[/math], т.е. [math]x-\sin{x}\gt{0}[/math]. Аналогично из неравенства [math]-1\le-\sin{x}\le{1}[/math] получим [math]x+\sin{x}\gt{0}[/math].

В принципе, оба доказанных неравенства непосредственно следуют из более общего соотношения [math]|x|\gt|\sin{x}|[/math] при [math]x\neq{0}[/math], однако для данного случая ограничимся простыми рассуждениями, указанными выше.

Из неравенств [math]x-\sin{x}\gt{0}[/math] и [math]x+\sin{x}\gt{0}[/math] следует, что при [math]x\ge{1}[/math] имеем [math]f(x)\gt{0}[/math].

Рассмотрим вспомогательный интеграл [math]\int\limits_{1}^{+\infty}{x^k}dx=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{-k}}[/math]. Известно, что интеграл [math]\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}}[/math] сходится при [math]\alpha\gt{1}[/math] и расходится при [math]\alpha\le{1}[/math]. Доказательство можно посмотреть, например, в книге Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, пункт №470 (стр. 553)). Используя это утверждение, получим, что интеграл [math]\int\limits_{1}^{+\infty}{x^k}dx[/math] сходится при [math]-k\gt{1}[/math], [math]k\lt{-1}[/math] и расходится при [math]k\ge{-1}[/math].

[dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{{x^k}\frac{x+\sin{x}}{x-\sin{x}}}{x^k} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\sin{x}}{x-\sin{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{\sin{x}}{x}}{1-\frac{\sin{x}}{x}} =\frac{1+0}{1-0} =1. [/dmath]

Следовательно, интегралы [math]\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx[/math] и [math]\int\limits_{1}^{+\infty}{x^k}dx[/math] сходятся или расходятся одновременно. Это значит, что при [math]k\lt{-1}[/math] интеграл [math]\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx[/math] сходится, а при [math]k\ge{-1}[/math] расходится.

Ответ

[math]k\lt{-1}[/math]