Задача №1683
Условие
Вычислить несобственный интеграл \(\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x^2}dx\) или установить его расходимость.
Решение
\[
\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x^2}dx
=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{0}^{b}xe^{-x^2}dx
=-\frac{1}{2}\cdot\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{0}^{b}e^{-x^2}d\left(-x^2\right)=\\
=-\frac{1}{2}\cdot\lim_{b\to+\infty}\left.e^{-x^2}\right|_{0}^{b}
=-\frac{1}{2}\cdot\lim_{b\to+\infty}\left(e^{-b^2}-1\right)
=-\frac{1}{2}\cdot(0-1)
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\)