2374-1
Информация о задаче
Задача №2374 параграфа №3 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Вычислить несобственный интеграл [math]\int\limits_{\sqrt{2}}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}[/math] или установить его расходимость.
Решение
[dmath] \int\limits_{\sqrt{2}}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} =\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{\sqrt{2}}^{b}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} =\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{\sqrt{2}}^{b}\frac{dx}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\\ =\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{\sqrt{2}}^{b}\frac{-d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}} =\lim_{b\to+\infty}\left(-\left. \arcsin\frac{1}{x}\right|_{\sqrt{2}}^{b}\right) =\lim_{b\to+\infty}\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}-\arcsin\frac{1}{b}\right) =\frac{\pi}{4}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{\pi}{4}[/math]
