Задача №1682
Условие
Вычислить несобственный интеграл \(\int\limits_{\sqrt{2}}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}\) или установить его расходимость.
Решение
\[
\int\limits_{\sqrt{2}}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}
=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{\sqrt{2}}^{b}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}
=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{\sqrt{2}}^{b}\frac{dx}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\\
=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{\sqrt{2}}^{b}\frac{-d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}
=\lim_{b\to+\infty}\left(-\left. \arcsin\frac{1}{x}\right|_{\sqrt{2}}^{b}\right)
=\lim_{b\to+\infty}\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}-\arcsin\frac{1}{b}\right)
=\frac{\pi}{4}.
\]
Ответ:
\(\frac{\pi}{4}\)