2329-1

Информация о задаче

Задача №2329 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Не вычисляя интеграла, доказать справедливость равенства [math]\int\limits_{-1}^{1}\frac{x^7-3x^5+7x^3-x}{\cos^2{x}}dx[/math].

Решение

Функция [math]f(x)=\frac{x^7-3x^5+7x^3-x}{\cos^2{x}}[/math] непрерывна на симметричном отрезке [math][-1;1][/math]. При этом имеем:

[dmath] f(-x) =\frac{(-x)^7-3(-x)^5+7(-x)^3-(-x)}{\cos^2(-x)} =-\frac{x^7-3x^5+7x^3-x}{\cos^2{x}} =-f(x) [/dmath]

Следовательно, функция [math]f(x)[/math] является нечётной, поэтому [math]\int\limits_{-1}^{1}f(x)dx=0[/math].

Ответ

Равенство доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).