Задача №1679
Условие
Не вычисляя интеграла, доказать справедливость равенства \(\int\limits_{-1}^{1}\frac{x^7-3x^5+7x^3-x}{\cos^2{x}}dx\).
Решение
Функция \(f(x)=\frac{x^7-3x^5+7x^3-x}{\cos^2{x}}\) непрерывна на симметричном отрезке \([-1;1]\). При этом имеем:
\[
f(-x)
=\frac{(-x)^7-3(-x)^5+7(-x)^3-(-x)}{\cos^2(-x)}
=-\frac{x^7-3x^5+7x^3-x}{\cos^2{x}}
=-f(x)
\]
Следовательно, функция \(f(x)\) является нечётной, поэтому \(\int\limits_{-1}^{1}f(x)dx=0\).
Ответ:
Равенство доказано.