2317-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2317 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}\cos{x} dx}{a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}}[/math].

Решение

Если [math]a=b=0[/math], то имеем [math]a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}=0[/math].

Если ровно один из параметров ([math]a[/math] или [math]b[/math]) равен нулю, то получим несобственный интеграл, который является расходящимся.

Далее, если оба параметра отличны от нуля, однако же [math]|a|=|b|[/math], то получим:

[dmath] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}\cos{x} dx}{a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}} =\frac{1}{a^2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\cos{x}dx =\frac{1}{2a^2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{x}\, d(\sin{x}) =\frac{1}{2a^2} [/dmath]

Рассмотрим случай, когда оба параметра отличны от нуля, однако при этом [math]|a|\neq|b|[/math]:

[dmath] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}\cos{x} dx}{a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}} =\frac{1}{2\left(b^2-a^2\right)}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\left(\left(b^2-a^2\right)\sin^2{x}+a^2\right)}{\left(b^2-a^2\right)\sin^2{x}+a^2} =\frac{1}{b^2-a^2}\ln\left|\frac{b}{a}\right| [/dmath]

Разумеется, что используя свойства логарифма, ответ можно представить в то же форме, в коей он указан в задачнике:

[dmath] \frac{1}{b^2-a^2}\ln\left|\frac{b}{a}\right| =\frac{1}{b^2-a^2}\ln\left(\left|\frac{a}{b}\right|^{-1}\right) =\frac{1}{a^2-b^2}\ln\left|\frac{a}{b}\right| [/dmath]

Ответ

Задача решена.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).