2306-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2306 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{-a}^{a}\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2+x^2}}[/math].

Решение

Для определённости будем полагать, что [math]a\gt{0}[/math]. Функция [math]f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}[/math] непрерывна на симметричном отрезке [math][-a;a][/math]. При этом имеем:

[dmath] f(-x) =\frac{(-x)^2}{\sqrt{a^2+(-x)^2}} =\frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}} =f(x) [/dmath]

Следовательно, функция [math]f(x)[/math] является чётной. С учётом чётности функции [math]f(x)[/math], применяя результаты задачи 1866-1, будем иметь:

[dmath] \int\limits_{-a}^{a}\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2+x^2}} =2\int\limits_{0}^{a}\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+a^2}} =\left[\begin{aligned} & u=x;\;du=dx.\\ & dv=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+a^2}};\;v=\sqrt{x^2+a^2}. \end{aligned}\right]=\\ =2\left.x\sqrt{x^2+a^2}\right|_{0}^{a} -2\int\limits_{0}^{a}\sqrt{x^2+a^2}dx =2\sqrt{2}a^2-\left.\left(x\sqrt{a^2+x^2}+a^2\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)\right)\right|_{0}^{a} =\left(\sqrt{2}-\ln\left(\sqrt{2}+1\right)\right)a^2 [/dmath]

Ответ

[math]\left(\sqrt{2}-\ln\left(\sqrt{2}+1\right)\right)a^2[/math]


Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).