Задача №1677
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{-a}^{a}\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2+x^2}}\).
Решение
Для определённости будем полагать, что \(a\gt{0}\). Функция \(f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}\) непрерывна на симметричном отрезке \([-a;a]\). При этом имеем:
\[
f(-x)
=\frac{(-x)^2}{\sqrt{a^2+(-x)^2}}
=\frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}
=f(x)
\]
Следовательно, функция \(f(x)\) является чётной. С учётом чётности функции \(f(x)\), применяя результаты задачи 1423, будем иметь:
\[
\int\limits_{-a}^{a}\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2+x^2}}
=2\int\limits_{0}^{a}\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\\
=\left[\begin{aligned}
& u=x;\;du=dx.\\
& dv=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+a^2}};\;v=\sqrt{x^2+a^2}.
\end{aligned}\right]
=2\left.x\sqrt{x^2+a^2}\right|_{0}^{a}
-2\int\limits_{0}^{a}\sqrt{x^2+a^2}dx=\\
=2\sqrt{2}a^2-\left.\left(x\sqrt{a^2+x^2}+a^2\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)\right)\right|_{0}^{a}
=\left(\sqrt{2}-\ln\left(\sqrt{2}+1\right)\right)a^2
\]
Ответ:
\(\left(\sqrt{2}-\ln\left(\sqrt{2}+1\right)\right)a^2\)