2301-1
Информация о задаче
Задача №2301 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Вычислить интеграл [math]\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x+x^3}[/math].
Решение
В принципе, данный интеграл несложно вычислить, разложив подынтегральную функцию на элементарные дроби, как это было сделано в задаче 2036-1. Однако это скучно, поэтому сугубо для разнообразия поступим иначе.
[dmath] \int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x+x^3} =\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x^3\left(\frac{1}{x^2}+1\right)} =-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\frac{d\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}{\frac{1}{x^2}+1} =-\frac{1}{2}\cdot\left.\ln\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\right|_{1}^{2} =\frac{1}{2}\ln\frac{8}{5}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{2}\ln\frac{8}{5}[/math]
