2282-1

Информация о задаче

Задача №2282 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^7{2x}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^7{2x}dx =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^6{2x}\cdot\cos{2x}dx =\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(1-\sin^2{2x}\right)^3d(\sin{2x})=\\ =\left[\begin{aligned}&t=\sin{2x};\\&0\le{t}\le{1}.\end{aligned}\right] =\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(1-3t^2+3t^4-t^6\right)dt =\frac{1}{2}\cdot\left.\left(t-t^3+\frac{3t^5}{5}-\frac{t^7}{7}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{8}{35}. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{8}{35}[/math]