Задача №1674
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^7{2x}dx\).
Решение
\[
\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^7{2x}dx
=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^6{2x}\cdot\cos{2x}dx
=\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(1-\sin^2{2x}\right)^3d(\sin{2x})=\\
=\left[\begin{aligned}& t=\sin{2x};\\& 0\le{t}\le{1}.\end{aligned}\right]
=\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(1-3t^2+3t^4-t^6\right)dt
=\frac{1}{2}\cdot\left.\left(t-t^3+\frac{3t^5}{5}-\frac{t^7}{7}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{8}{35}.
\]
Ответ:
\(\frac{8}{35}\)