Задача №1673
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{3}^{8}\frac{xdx}{\sqrt{1+x}}\).
Решение
\[
\int\limits_{3}^{8}\frac{xdx}{\sqrt{1+x}}
=\left[\begin{aligned}
& t=\sqrt{x+1};\;x=t^2-1;\;dx=2tdt.\\
&\begin{array} {c|c|c} x & 3 & 8\\ \hline t & 2 & 3 \end{array}
\end{aligned}\right]=\\
=\int\limits_{2}^{3}\frac{\left(t^2-1\right)\cdot{2t}dt}{t}
=2\int\limits_{2}^{3}\left(t^2-1\right)dt
=2\cdot\left.\left(\frac{t^3}{3}-t\right)\right|_{2}^{3}
=\frac{32}{3}.
\]
Ответ:
\(\frac{32}{3}\)