2276-1

Информация о задаче

Задача №2276 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{1+x}dx[/math].

Решение

[math] \int\limits_{0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{1+x}dx =\left[\begin{aligned} & t=\sqrt{x};\;x=t^2;\;dx=2tdt.\\ &\begin{array} {c|c|c} x & 0 & 1\\ \hline t & 0 & 1 \end{array} \end{aligned}\right] =\int\limits_{0}^{1}\frac{2t^2dt}{1+t^2} =2\int\limits_{0}^{1}\frac{t^2+1-1}{1+t^2}dt=\\ =2\int\limits_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt =2\cdot\left.\left(t-\arctg{t}\right)\right|_{0}^{1} =2-\frac{\pi}{2} [/math]

Ответ

[math]2-\frac{\pi}{2}[/math]