Задача №1672
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{1+x}dx\).
Решение
\[
\int\limits_{0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{1+x}dx
=\left[\begin{aligned}
& t=\sqrt{x};\;x=t^2;\;dx=2tdt.\\
&\begin{array} {c|c|c} x & 0 & 1\\ \hline t & 0 & 1 \end{array}
\end{aligned}\right]
=\int\limits_{0}^{1}\frac{2t^2dt}{1+t^2}=\\
=2\int\limits_{0}^{1}\frac{t^2+1-1}{1+t^2}dt
=2\int\limits_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt
=2\cdot\left.\left(t-\arctg{t}\right)\right|_{0}^{1}
=2-\frac{\pi}{2}
\]
Ответ:
\(2-\frac{\pi}{2}\)