Задача №1671
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{4}^{9}\frac{\sqrt{x}}{x-1}dx\).
Решение
\[
\int\limits_{4}^{9}\frac{\sqrt{x}}{x-1}dx
=\left[\begin{aligned}
& t=\sqrt{x};\;x=t^2;\;dx=2tdt.\\
& \begin{array} {c|c|c} x & 4 & 9\\ \hline t & 2 & 3 \end{array}
\end{aligned}\right]
=\int\limits_{2}^{3}\frac{2t^2dt}{t-1}=\\
=2\cdot\int\limits_{2}^{3}\frac{(t-1)(t+1)+1}{t-1}dt
=\int\limits_{2}^{3}\left(2t+2+\frac{2}{t-1}\right)dt
=\left.\left(t^2+2t+2\ln|t-1|\right)\right|_{2}^{3}
=7+\ln{4}.
\]
Ответ:
\(7+\ln{4}\)