Задача №1670
Условие
Интегрированием по частям найти интеграл \(\int\limits_{0}^{e-1}\ln(x+1)dx\).
Решение
\[
\int\limits_{0}^{e-1}\ln(x+1)dx
=\left[\begin{aligned}
& u=\ln(x+1);\;du=\frac{dx}{x+1};\\
& dv=dx;\;v=x.
\end{aligned}\right]
=\left.x\ln(x+1)\right|_{0}^{e-1}-\int\limits_{0}^{e-1}\frac{xdx}{x+1}=\\
=e-1-\int\limits_{0}^{e-1}\frac{x+1-1}{x+1}dx
=e-1-\int\limits_{0}^{e-1}\left(1-\frac{dx}{x+1}\right)dx
=e-1-\left.\left(x-\ln(x+1)\right)\right|_{0}^{e-1}
=1.
\]
Ответ:
1