Задача №1669
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}-\cos^3{x}}dx\).
Решение
\[
\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}-\cos^3{x}}dx
\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}\sin^2{x}}dx
=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin{x}|\sqrt{\cos{x}}dx=\\
=2\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin{x}\sqrt{\cos{x}}dx
=-2\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\cos{x}\right)^{1/2}d(\cos{x})
=-\frac{4}{3}\cdot\left.(\cos{x})^{3/2}\right|_{0}^{\pi/2}
=\frac{4}{3}.
\]
Ответ:
\(\frac{4}{3}\)