2249-1

Информация о задаче

Задача №2249 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x+x^3}[/math].

Решение

[dmath] \frac{1}{x\left(x^2+1\right)} =\frac{x^2+1-x^2}{x\left(x^2+1\right)} =\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}. [/dmath]

[math] \int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x+x^3} =\int\limits_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx =\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\frac{d\left(1+x^2\right)}{1+x^2} =\left.\ln{x}\right|_{1}^{2}-\frac{1}{2}\cdot\left.\ln\left(x^2+1\right)\right|_{1}^{2} =\ln{2}-\frac{1}{2}\ln\frac{5}{2} =\frac{1}{2}\ln\frac{8}{5}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{2}\ln\frac{8}{5}[/math]