Задача №1665
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x+x^3}\).
Решение
\[
\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}
=\frac{x^2+1-x^2}{x\left(x^2+1\right)}
=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}.
\]
\[
\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x+x^3}
=\int\limits_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx=\\
=\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\frac{d\left(1+x^2\right)}{1+x^2}
=\left.\ln{x}\right|_{1}^{2}-\frac{1}{2}\cdot\left.\ln\left(x^2+1\right)\right|_{1}^{2}
=\ln{2}-\frac{1}{2}\ln\frac{5}{2}
=\frac{1}{2}\ln\frac{8}{5}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\ln\frac{8}{5}\)