Задача №1663
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{2}^{3}\frac{dx}{2x^2+3x-2}\)
Решение
\[
\int\limits_{2}^{3}\frac{dx}{2x^2+3x-2}
=\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{2}^{3}\frac{dx}{x^2+\frac{3}{2}x-1}=\\
=\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{2}^{3}\frac{d\left(x+\frac{3}{4}\right)}{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{25}{16}}
=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot\frac{5}{4}}\cdot\left.\ln\left|\frac{x+\frac{3}{4}-\frac{5}{4}}{x+\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}\right|\right|_{2}^{3}
=\frac{1}{5}\cdot\left.\ln\left|\frac{2x-1}{2x+4}\right|\right|_{2}^{3}
=\frac{1}{5}\ln\frac{4}{3}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{5}\ln\frac{4}{3}\)