2246-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2246 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{a/2}\frac{adx}{(x-a)(x-2a)}[/math].

Решение

Полагаем [math]a\neq{0}[/math].

[dmath] \frac{a}{(x-a)(x-2a)} =\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-2a} =\frac{A(x-2a)+B(x-a)}{(x-a)(x-2a)} [/dmath]

[dmath] a=A(x-2a)+B(x-a);\\ \begin{aligned} & x=a;\;a=-aA;\;A=-1.\\ & x=2a;\;a=aB;\;B=1. \end{aligned} [/dmath]

[math] \int\limits_{0}^{a/2}\frac{adx}{(x-a)(x-2a)} =\int\limits_{0}^{a/2}\left(\frac{1}{x-2a}-\frac{1}{x-a}\right) =\left.\left(\ln|x-2a|-\ln|x-a|\right)\right|_{0}^{a/2} =\ln\frac{3}{2}. [/math]

Ответ

[math]\ln\frac{3}{2}[/math]