Задача №1662
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{0}^{a/2}\frac{adx}{(x-a)(x-2a)}\).
Решение
Полагаем \(a\neq{0}\).
\[
\frac{a}{(x-a)(x-2a)}
=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-2a}
=\frac{A(x-2a)+B(x-a)}{(x-a)(x-2a)}
\]
\[
a=A(x-2a)+B(x-a);\\
\begin{aligned}
& x=a;\;a=-aA;\;A=-1.\\
& x=2a;\;a=aB;\;B=1.
\end{aligned}
\]
\[
\int\limits_{0}^{a/2}\frac{adx}{(x-a)(x-2a)}
=\int\limits_{0}^{a/2}\left(\frac{1}{x-2a}-\frac{1}{x-a}\right)
=\left.\left(\ln|x-2a|-\ln|x-a|\right)\right|_{0}^{a/2}
=\ln\frac{3}{2}.
\]
Ответ:
\(\ln\frac{3}{2}\)