2243-1

Информация о задаче

Задача №2243 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{\sqrt[n]{a/2}}\frac{x^{n-1}dx}{\sqrt{a^2-x^{2n}}}[/math].

Решение

[math] \int\limits_{0}^{\sqrt[n]{a/2}}\frac{x^{n-1}dx}{\sqrt{a^2-x^{2n}}} =\frac{1}{n}\int\limits_{0}^{\sqrt[n]{a/2}}\frac{d\left(x^n\right)}{\sqrt{a^2-\left(x^n\right)^2}} =\frac{1}{n}\cdot\left.\arcsin\frac{x^n}{a}\right|_{0}^{\sqrt[n]{a/2}} =\frac{\pi}{6n}. [/math]

Ответ

[math]\frac{\pi}{6n}[/math]