Задача №1659
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{0}^{\sqrt[n]{a/2}}\frac{x^{n-1}dx}{\sqrt{a^2-x^{2n}}}\).
Решение
\[
\int\limits_{0}^{\sqrt[n]{a/2}}\frac{x^{n-1}dx}{\sqrt{a^2-x^{2n}}}
=\frac{1}{n}\int\limits_{0}^{\sqrt[n]{a/2}}\frac{d\left(x^n\right)}{\sqrt{a^2-\left(x^n\right)^2}}
=\frac{1}{n}\cdot\left.\arcsin\frac{x^n}{a}\right|_{0}^{\sqrt[n]{a/2}}
=\frac{\pi}{6n}.
\]
Ответ:
\(\frac{\pi}{6n}\)