Задача №1657
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{1}^{e}\frac{1+\lg{x}}{x}dx\).
Решение
\[
\int\limits_{1}^{e}\frac{1+\lg{x}}{x}dx
=\ln{10}\cdot\int\limits_{1}^{e}\left(1+\lg{x}\right)d(\lg{x})
=\ln{10}\cdot\left.\left(\lg{x}+\frac{\lg^2x}{2}\right)\right|_{1}^{e}
=\ln{10}\cdot\left(\lg{e}+\frac{\lg^2{e}}{2}\right)
=1+\frac{1}{2\ln{10}}.
\]
Ответ:
\(1+\frac{1}{2\ln{10}}\)