2240-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2240 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}[/math].

Решение

[math] \int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}} =\lim_{b\to{0+0}}\int\limits_{1}^{e-b}\frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}} =\lim_{b\to{0+0}}\int\limits_{1}^{e-b}\frac{d(\ln{x})}{\sqrt{1-\ln^2x}} =\lim_{b\to{0+0}}\left.\arcsin\ln{x}\right|_{1}^{e-b} =\lim_{b\to{0+0}}\left(\arcsin\ln(e-b)-\arcsin\ln{1}\right) =\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{\pi}{2}[/math]