Задача №1656
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}\).
Решение
\[
\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}
=\lim_{b\to{0+0}}\int\limits_{1}^{e-b}\frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}
=\lim_{b\to{0+0}}\int\limits_{1}^{e-b}\frac{d(\ln{x})}{\sqrt{1-\ln^2x}}=\\
=\lim_{b\to{0+0}}\left.\arcsin\ln{x}\right|_{1}^{e-b}
=\lim_{b\to{0+0}}\left(\arcsin\ln(e-b)-\arcsin\ln{1}\right)
=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{\pi}{2}\)