2238-1

Информация о задаче

Задача №2238 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\limits_{0}^{2a}\frac{3dx}{2b-x}[/math], где [math]b\gt{a}\gt{0}[/math].

Решение

Так как [math]b\gt{a}\gt{0}[/math] и [math]0\le{x}\le{2a}[/math], то [math]2b-x\gt{0}[/math].

[math] \int\limits_{0}^{2a}\frac{3dx}{2b-x} =-3\int\limits_{0}^{2a}\frac{d(2b-x)}{2b-x} =-3\left.\ln(2b-x)\right|_{0}^{2a} =-3\cdot\left(\ln(2b-2a)-\ln{2b}\right) =-3\ln\frac{b-a}{b} =3\ln\frac{b}{b-a}. [/math]

Ответ

[math]3\ln\frac{b}{b-a}[/math]