Задача №1654
Условие
Найти интеграл \(\int\limits_{0}^{2a}\frac{3dx}{2b-x}\), где \(b\gt{a}\gt{0}\).
Решение
Так как \(b\gt{a}\gt{0}\) и \(0\le{x}\le{2a}\), то \(2b-x\gt{0}\).
\[
\int\limits_{0}^{2a}\frac{3dx}{2b-x}
=-3\int\limits_{0}^{2a}\frac{d(2b-x)}{2b-x}
=-3\left.\ln(2b-x)\right|_{0}^{2a}
=-3\cdot\left(\ln(2b-2a)-\ln{2b}\right)
=-3\ln\frac{b-a}{b}
=3\ln\frac{b}{b-a}.
\]
Ответ:
\(3\ln\frac{b}{b-a}\)