Задача №1651
Условие
Найти интеграл \(\int\limits_{0}^{\frac{T}{2}}\sin\left(\frac{2\pi{t}}{T}-\varphi_0\right)dt\).
Решение
\[
\int\limits_{0}^{\frac{T}{2}}\sin\left(\frac{2\pi{t}}{T}-\varphi_0\right)dt
=\frac{T}{2\pi}\int\limits_{0}^{\frac{T}{2}}\sin\left(\frac{2\pi{t}}{T}-\varphi_0\right)d\left(\frac{2\pi{t}}{T}-\varphi_0\right)=\\
=-\frac{T}{2\pi}\left.\cos\left(\frac{2\pi{t}}{T}-\varphi_0\right)\right|_{0}^{T/2}
=-\frac{T}{2\pi}\cdot\left(\cos\left(\pi-\varphi_0\right)-\cos\left(-\varphi_0\right) \right)
=\frac{T}{\pi}\cos\varphi_0
\]
Ответ:
\(\frac{T}{\pi}\cos\varphi_0\)