Задача №1645
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}}\).
Решение
В принципе,если принять \(t=e^x\), то придём к интегралу от функции \(\frac{1}{t\sqrt{1+t+t^2}}\), где \(t\gt{0}\). Для дальнейшего решения можно заменить \(z=\frac{1}{t}\). Мне кажется более рациональным просто домножить числитель и знаменатель на \(e^{-x}\).
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}}
=\int\frac{e^{-x}dx}{ \sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}}=\\
=-\int\frac{d\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)}{ \sqrt{\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} }
=-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C
\]
Ответ:
\(-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C\)