2222-1
Информация о задаче
Задача №2222 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}}[/math].
Решение
В принципе,если принять [math]t=e^x[/math], то придём к интегралу от функции [math]\frac{1}{t\sqrt{1+t+t^2}}[/math], где [math]t\gt{0}[/math]. Для дальнейшего решения можно заменить [math]z=\frac{1}{t}[/math]. Мне кажется более рациональным просто домножить числитель и знаменатель на [math]e^{-x}[/math].
[dmath] \int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}} =\int\frac{e^{-x}dx}{ \sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}} =-\int\frac{d\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)}{ \sqrt{\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} } =-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C [/dmath]
Ответ
[math]-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C[/math]
